Question

【題目】已知橢圓： ，其中， 為左、右焦點(diǎn)，且離心率，直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)， .當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，當(dāng)面積為時(shí)，求的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)5.

【解析】試題分析：（Ⅰ）本題考察的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題，根據(jù)題設(shè)條件和橢圓的定義，即可求出橢圓的方程；

（Ⅱ）本題考察的是圓錐曲線中的最值與范圍問題，由于直線方程的斜率存在與否未知，需要分直線斜率存在和不存在的兩種情況討論，再聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，得到，再利用基本不等式即可求出所求答案。

試題解析：（1）因?yàn)橹本�的傾斜角為， ，所以，直線的方程為，

由已知得，所以．又，所以， ,

橢圓的方程．

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，

由在橢圓上，則，而，則

知=．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，代入可得

，即，由題意，即．

．

， ,

化為， ，

即．

則，滿足,

由前知， ，

．

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

故．

綜上可知的最大值為．

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