Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1）=0，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜-f（-x）（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則不等式xf（x）＞0的解集為（　　）

• A、（-∞，-1）∪（0，1）
• B、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由f（x）為偶函數(shù)得到f（-x）=f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由導(dǎo)數(shù)的積的運(yùn)算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），則F（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，由f（1）=0，F(xiàn)（1）=F（-1）=0，不等式xf（x）＞0等價(jià)為F（x）＞0，分

x＜0 F(x)＞F(-1)

或

x＞0 F(x)＞F(1)

，由F（x）的單調(diào)性即可得到原不等式的解集．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜-f（-x），即xf′（x）+f（x）＜0，
∴[xf（x）]′＜0，
∴令F（x）=xf（x），則F（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（1）=0，且f（-1）=0
∴F（1）=F（-1）=0，
∴不等式xf（x）＞0等價(jià)為F（x）＞0，
∴

x＜0 F(x)＞F(-1)

或

x＞0 F(x)＞F(1)

∴

x＜0 x＜-1

或

x＞0 x＜1

即x∈（-∞，-1）∪（0，1），
∴原不等式的解集為：（-∞，-1）∪（0，1），
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查奇偶函數(shù)的定義及應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)的能力，同時(shí)考查解不等式的運(yùn)算能力，是函數(shù)的綜合題．