Question

【題目】設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.

（1）求與平面所成角的大小；

（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）、、三點(diǎn)共線，

【解析】

（1）由題意可得:，，所以平面，可得與平面所成角既為，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)即可求出答案.
（2）假設(shè)邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，作，則平面，可得，進(jìn)而得到，然后根據(jù)題意可得此點(diǎn)G符合題意.
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于面PAB的對(duì)稱點(diǎn)，連接交面PAB的點(diǎn)H，點(diǎn)H就是所求的點(diǎn)，再運(yùn)用平面幾何知識(shí)可求得HB的長(zhǎng).

(1)因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又因?yàn)榈酌?/span>是矩形，所以，

所以由線面垂直的判定定理可得:平面，所以與平面所成角既為，
又由題意可得:，，所以.

所以與平面所成角的大小為.
(2)假設(shè)邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，作，

則平面，

所以.，

故存在點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，使點(diǎn)D到平面的距離為.

（3）延長(zhǎng)CB到，使，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)榈酌?/span>是矩形，

所以，
所以由線面垂直的判定定理可得:平面，

則是點(diǎn)C關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)，

連接，交面于H，

則點(diǎn)H是使的值最小時(shí)，在面上的一點(diǎn).

作于M，則點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，連接交AB于N，連接HN，

則，

所以，

又，

所以，而，

所以.

所以.