Question

已知函數(shù)（m為常數(shù),e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），函數(shù) 的最小值為1，其中 是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).
（1）求m的值.
（2）判斷直線y=e是否為曲線f(x)的切線，若是，試求出切點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1） 1  ;（2）是,（1，e）;單調(diào)減區(qū)間(0,+∞).

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為分式不等式，最后根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過(guò)（1，e）的切線即可驗(yàn)證.
試題解析：由，得，∞），
=，
所以2-m=1，解得m=1.
（2）由(1)得，得，令h（x）=，則=，
當(dāng)時(shí)，>0，當(dāng)∞）時(shí)，<0,所以h（x）_max=h（1）=0.
又因?yàn)閑^x>0,所以可得當(dāng)∞）時(shí)，恒成立.故當(dāng)∞）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022701202518.png" style="vertical-align:middle;" />且，所以曲線在（1，e）點(diǎn)出的切線方程為y-e=0（x-1），即y=e.
所以直線y=e是曲線f(x)的切線，切點(diǎn)坐標(biāo)（1，e），且在∞）上單調(diào)遞減.