Question

已知函數(shù)
(1)求的值域；
(2)設(shè)，函數(shù)．若對任意，總存在，使，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)  ；(2)

試題分析：（1）求出的導函數(shù)，令導函數(shù)等于求出 的值，然后由的值，分區(qū)間討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值即可得到的值域；（2）設(shè)函數(shù)在[0，2]上的值域是A，根據(jù)題意對任意，總存在，使，得到區(qū)間是A的子集，求出的導函數(shù)，分小于0和大于0兩種情況討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值，即可得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的值域，根據(jù)區(qū)間[0，2]是A的子集判斷出符合這一條件的情況，列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的取值范圍．
試題解析：（1），令，得或．         
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，
而，當時，的值域是． 
(2)設(shè)函數(shù)在上的值域是A，
若對任意．總存在1,使，．                             
．
①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．        ，當時，不滿足；
②當時，，令，得或(舍去)   
（i）時，的變化如下表：

	0				2
		-	0	+
	0

．，解得．   
(ii)當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
，當時，不滿．
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．