Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．

Ⅰ求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

Ⅱ令，若對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Ⅲ數(shù)列中是否存在，且 使，，成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】Ⅰ，；Ⅱ或；Ⅲ 不存在，理由見解析．

【解析】

Ⅰ利用已知條件通過，說明數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而可求出的通項(xiàng)公式，然后求解的通項(xiàng)公式；Ⅱ求出，判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，得到求解即可；Ⅲ假設(shè)存在，使，，成等差數(shù)列，推出說明是與條件矛盾，得到結(jié)論．

Ⅰ根據(jù)題意，數(shù)列滿足，

當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，

即．

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列

所以，；

又由已知，得

Ⅱ依題意得，．

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值

因?yàn)?/span>對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，

所以

解得或，

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是或；

Ⅲ假設(shè)存在，使，，成等差數(shù)列，

則，即

兩邊同時(shí)除以，得

因?yàn)?/span>為偶數(shù)，為奇數(shù)，這與矛盾．

所以不存在，使，，成等差數(shù)列