Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).若與的面積之比是，求的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的基本量求解即可.

(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得的面積與的面積關(guān)于的表達(dá)式,再利用與的面積之比是化簡(jiǎn)求解,從而求得的長(zhǎng)度.

解：由題意,得,解得

所以

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由題意,當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)顯然不符合題意；

所以設(shè)的斜率為,則直線的方程為,

又準(zhǔn)線方程為,

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,

由,得

即

所以

所以的面積為

因?yàn)?/span>

從而直線的方程為,（也可用點(diǎn)差法求解）

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,故

所以的面積為

因?yàn)?/span>與的面積之比是

所以

解得

所以,解得

所以