Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在 上

（Ⅰ）求 的方程；

（Ⅱ）直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明：的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c=2，再由點(diǎn)滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k，b≠0），A，B，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，可得直線OM的斜率，進(jìn)而得到證明

試題解析：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為（2，0），由題意可得c=2，即，

又點(diǎn)在上，可得解得

即有橢圓C：…………………………5分

（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為（≠0），，，…………6分

將直線代入橢圓方程，可得

,…………………………8分

即有AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為…………10分

直線OM的斜率為即有

故OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.…………………………12分