Question

【題目】若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上均有定義；②函數(shù)y＝f(x)－g(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上具有關(guān)系G．

（1）若f(x)＝lgx，g(x)＝3－x，試判斷f(x)和g(x)在[1，4]上是否具有關(guān)系G，并說(shuō)明理由；

（2）若f(x)＝2|x－2|＋1和g(x)＝mx2在[1，4]上具有關(guān)系G，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）具有關(guān)系G;（2）

【解析】試題分析：（1）利用零點(diǎn)存在定理可判斷在區(qū)間 上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即具有關(guān)系G;（2）先取絕對(duì)值，顯然當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 時(shí)函數(shù)單調(diào)，如有零點(diǎn)則 ；最后討論以及情況下， 是否有零點(diǎn)《結(jié)果無(wú)零點(diǎn)，因此可得

試題解析：（1）令 ，所以由區(qū)間根定理，函數(shù)在區(qū)間 上至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以具有關(guān)系G;（2）當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間 上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間 上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間 上無(wú)零點(diǎn)，綜上