Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，頂點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)的射影恰為點(diǎn)C.

（1）求證：BC⊥平面ACD1；

（2）若直線DD1與底面ABCD所成的角為，求平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，則平面ABCD，推導(dǎo)出，連接AC，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，推導(dǎo)出BC⊥AC，由此能證明BC⊥平面ACD1;
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CD1，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

解：（1）證明：如圖，連接，則平面ABCD，

，

在等腰梯形ABCD中，連接AC，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，

，

則

因此滿足

又，面，

平面

（2）由（1）知兩兩垂直，

平面

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

設(shè)平面的法向量，

由，得，

可得平面的一個(gè)法向量，

又為平面ABCD的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面ABCD所成銳二面角為θ，

則，

因此平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為．