Question

設(shè)，兩個(gè)函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).
（1）求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）當(dāng)時(shí)，在上解不等式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，一般都是設(shè)是一個(gè)函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)，求出這個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，而點(diǎn)就在第二個(gè)函數(shù)的圖象上，這樣就把兩個(gè)函數(shù)建立了聯(lián)系；（2）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，一般是求，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性，最值，從而討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)然本題中由于與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此的唯一零點(diǎn)也就是它們的的唯一交點(diǎn)必在直線上，這個(gè)交點(diǎn)是函數(shù)圖象與直線的切點(diǎn)，這樣我們可從切線方面來(lái)解決問(wèn)題；（3）考慮，
當(dāng)然要解不等式，還需求，討論的單調(diào)性，極值，從而確定不等式的解集．
試題解析：（1）設(shè)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，，.
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)就是函數(shù)，的圖像與直線的切點(diǎn).
設(shè)切點(diǎn)為，，，，,
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè) ，則
，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，．
在上是減函數(shù).
又＝0，不等式解集是．
考點(diǎn)：（1）兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；（2）函數(shù)的零點(diǎn)與切線問(wèn)題；（3）解函數(shù)不等式．