Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且有

2

sin（2A+

π

4

）+sin（A+C+

π

6

）=1+2cos²A．
（Ⅰ）求A、B的值；
（Ⅱ）若a²+c²=b-ac+2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式變形后，根據(jù)正弦函數(shù)值域確定出sin2A與sin（B-

π

6

）的值，進(jìn)而確定出A與B的度數(shù)；
（Ⅱ）由cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，結(jié)合已知等式求出b的值，再由b，sinA，sinB的值，利用正弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：sin2A+cos2A+sin（B-

π

6

）=2+cos2A，即sin2A+sin（B-

π

6

）=2，
∵sin2A≤1，sin（B-

π

6

）≤1，
∴sin2A=1，sin（B-

π

6

）=1，
∵0＜2A＜2π，-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，
∴2A=

π

2

，B-

π

6

=

π

2

，
則A=

π

4

，B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac，
∵a²+c²=b-ac+2，
∴b²-b-2=0，
解得：b=2（負(fù)值舍去），
則由正弦定理得：a=

bsinA

sinB

=

2× 2 2

3 2

=

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．