Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點M（2，m）（m＞0），M到焦點F的距離為

5

2

，A、B是拋物線C上異于M的兩點，且MA⊥MB．
（1）求p和m的值；
（2）問直線AB是否恒過定點？若過定點，求出這個定點的坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：探究型

分析：對第（1）問，由點M到焦點F的距離想到拋物線的定義，由此得到一個方程，將點M的坐標代入拋物線方程中，又得一個方程，可解得p和m的值；
對第（2）問，先設出直線AB的方程及A，B的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理及條件MA⊥MB進一步探究直線方程，最后根據(jù)直線方程的形式特征獲得定值．

解答： 解：（1）∵點M（2，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
由拋物線的定義知，2+

p

2

=

5

2

，得p=1，
從而拋物線C的方程為y²=2x，
將點M的坐標代入C的方程中，有m²=4（m＞0），
解得m=2．  
綜上知，p=1，m=2．                
（2）由題意知，直線AB不與y軸垂直，可設直線AB的方程為x=ty+n，
又設A，B兩點坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將x=ty+n代入y²=2x中，整理得關于y的一元二次方程y²-2ty-2n=0，
則此方程的兩根為y₁，y₂，所以△=4t²+8n＞0，且y₁+y₂=2t，y₁•y₂=-2n；          
由MA⊥MB得（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
而x₁=ty₁+n，x₂=ty₂+n，y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
所以

(y1•y2)2

4

+y₁•y₂-2（t+1）（y₁+y₂）-4n+8=0，
將y₁+y₂=2t，y₁•y₂=-2n代入上式，化簡并整理得（n-3）²=（2t+1）²，
得n-3=2t+1，或3-n=2t+1，即n=2t+4，或n=2-2t，
當n=2t+4時，聯(lián)立x=ty+n消去n，得直線AB的方程為x=t（y+2）+4，
此時，△=4t²+8n=4t²+16t+32=4（t+2）²+16＞0，
可知直線AB過定點（4，-2）．
當n=2-2t時，得直線AB的方程為x=t（y-2）+2，此直線過定點M（2，2），不合題意．
綜上知，直線AB恒過定點（4，-2）．

點評：對于直線是否過定點問題，可采取分離參數(shù)法，求解的一般思路與步驟是：
1．設直線方程；
2．聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達定理與已知條件進行消參；
3．將剩余參數(shù)分離，調整直線方程的形式，從而獲得定值．