Question

已知復數(shù)z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-

3

cos2x)i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（1）設λ=f（x），求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：復合三角函數(shù)的單調性,復數(shù)相等的充要條件,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過復數(shù)的相等消去m，求出λ的表達式利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的周期，利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間求解函數(shù)的單調增區(qū)間即可．
（2）通過函數(shù)的表達式求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的值域即可．

解答： 解：（1）z₁=z₂⇒

sin2x=m λ=m- 3 cos2x

…（1分）
⇒λ=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），…（3分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，…（4分）
因為2x-

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z…（5分）
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為[2kπ-

π

12

，2kπ+

5π

12

]，k∈Z．（單調區(qū)間寫成開區(qū)間不扣分）…（6分）
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，…（7分）
所以sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，…（11分）
因此函數(shù)f（x）的值域為[-

3

，2]．…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，復數(shù)相等，正弦函數(shù)的單調性周期的求法，考查計算能力．