Question

【題目】如圖所示的長方體，． 動(dòng)點(diǎn)在該長方體外接球上，且，則點(diǎn)的軌跡長度為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

求出長方體外接球的半徑，在平面ABCD上確定滿足條件的一點(diǎn)，根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡是過弦且垂直于平面ABCD的平面與長方體外接球所截得的圓，作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出此圓的周長即為軌跡長度.

由題意知長方體外接球的半徑為，

因?yàn)?/span>是長方體外接球表面上一點(diǎn)，且，如圖，

點(diǎn)是其中滿足條件的一點(diǎn)，且，

可知點(diǎn)的軌跡是過弦且垂直于平面的平面與長方體外接球所截得的圓，

設(shè)該圓圓心為，外接球球心為O，平面ABCD所在圓圓心為，

如圖，只需求圓的周長，設(shè)半徑，

∵，，，∴，

∵，∴，又,

∴，在中，是中位線，則，

而，∴，

∴點(diǎn)的軌跡長度是．

故選D．