Question

【題目】設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、（不與左右頂點(diǎn)重合），連結(jié)、，已知周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為1，求的面積；

（3）設(shè)，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式和橢圓的定義，可得，，再由，，的關(guān)系可得，進(jìn)而得到所求橢圓方程；

（2）求得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合的面積為，計(jì)算可得所求值；

（3）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由，得出，結(jié)合，設(shè)，所以，，運(yùn)用韋達(dá)定理可求出，進(jìn)而得到所求直線方程．

（1）解：由題可知，周長(zhǎng)為8，

由橢圓的定義，可知的周長(zhǎng)等于，

則，所以，

又，所以，，

因此橢圓的方程為.

（2）解：依題意，直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立，整理得：，

由韋達(dá)定理：，，

.

（3）解：設(shè)直線的方程為，，，

直線與橢圓方程聯(lián)立，

整理得：，

由韋達(dá)定理：①，②，

因?yàn)?/span>，

所以，

即，由，，

得：，

所以，

又，不妨設(shè)，所以，，

代入，所以，

所以，整理得，

代入①②，計(jì)算得，

所以直線的方程為或.