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        1. 【題目】如圖,某市有相交于點(diǎn)O的一條東西走向的公路l,與南北走向的公路m,這兩條公路都與一塊半徑為1(單位:千米)的圓形商城A相切.根據(jù)市民建議,欲再新建一條公路PQ,點(diǎn)P、Q分別在公路lm上,且要求PQ與圓形商城A也相切.

          1)當(dāng)PO4千米時(shí),求OQ的長(zhǎng);

          2)當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí),求OQ的長(zhǎng).

          【答案】(1) 3千米.(2) 千米

          【解析】

          1)先建立以O為原點(diǎn),直線l、m分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)直線方程為:,由直線與圓的位置關(guān)系可得,運(yùn)算即可得解;

          2)設(shè),由PQ與圓A相切,得,再結(jié)合重要不等式即可得解.

          解:(1)以O為原點(diǎn),直線l、m分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

          設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B,連結(jié)AB,以1千米為單位長(zhǎng)度,

          則圓A的方程為,

          由題意可設(shè)直線PQ的方程為,即,,

          PQ與圓A相切,∴,解得

          故當(dāng)PO4千米時(shí),OQ的長(zhǎng)為3千米.

          2)設(shè),,

          則直線PQ方程為,即

          因?yàn)?/span>PQ與圓A相切,所以,

          化簡(jiǎn)得,即;

          解法一:因此

          因?yàn)?/span>,,所以,于是

          ,解得,或

          因?yàn)?/span>,所以,

          ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

          所以PQ最小值為,此時(shí)

          答:當(dāng)P、Q兩點(diǎn)距離兩公路的交點(diǎn)O都為(千米)時(shí),新建公路PQ最短.

          解法二:

          化簡(jiǎn)得,即

          因?yàn)?/span>

          因?yàn)?/span>,所以

          當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取到等號(hào),

          答:當(dāng)PQ兩點(diǎn)距離兩公路的交點(diǎn)O都為(千米)時(shí),新建公路PQ最短.

          解法三:設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B,連結(jié)AB、AP、AQ,設(shè),

          ,且,∴,

          又∵,∴,

          (當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào))

          答:當(dāng)PQ兩點(diǎn)距離兩公路的交點(diǎn)O都為(千米)時(shí),新建公路PQ最短.

          解法四:設(shè)PQ相切于點(diǎn)B,設(shè),,

          ,,

          中,由得:

          化簡(jiǎn)得:,∴,

          解得:(舍)

          (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)

          ∴當(dāng)時(shí),PQ有最小值;

          答:當(dāng)P、Q兩點(diǎn)距離公路交點(diǎn)O都為(千米)時(shí),新建公路PQ最短.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知橢圓)的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

          (1)求橢圓的方程;

          (2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】對(duì)于數(shù)列,若存在正數(shù)p,使得對(duì)任意都成立,則稱數(shù)列為“擬等比數(shù)列”.

          已知,,若數(shù)列滿足:,

          ,求的取值范圍;

          求證:數(shù)列是“擬等比數(shù)列”;

          已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為d,前n項(xiàng)和為,若,,且是“擬等比數(shù)列”,求p的取值范圍請(qǐng)用,d表示

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】對(duì)年利率為的連續(xù)復(fù)利,要在年后達(dá)到本利和,則現(xiàn)在投資值為,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).如果項(xiàng)目的投資年利率為的連續(xù)復(fù)利.

          (1)現(xiàn)在投資5萬(wàn)元,寫出滿年的本利和,并求滿10年的本利和;(精確到0.1萬(wàn)元)

          (2)一個(gè)家庭為剛出生的孩子設(shè)立創(chuàng)業(yè)基金,若每年初一次性給項(xiàng)目投資2萬(wàn)元,那么,至少滿多少年基金共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元?(精確到1年)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1),且傾斜角α.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ.

          (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;

          (2)設(shè)直線l與圓C交于AB兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,分別為的中點(diǎn).

          (Ⅰ)證明:平面平面;

          (Ⅱ)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在線段的兩端點(diǎn)各置一個(gè)光源,已知光源,的發(fā)光強(qiáng)度之比為,則線段上光照度最小的一點(diǎn)到,的距離之比為______(光學(xué)定律:點(diǎn)的光照度與到光源的距離的平方成反比,與光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】設(shè)數(shù)列滿足:,(其中為非零實(shí)常數(shù)).

          1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式;

          2)設(shè),記,求使得不等式成立的最小正整數(shù)

          3)若,對(duì)于任意的正整數(shù),均有,當(dāng)、依次成等比數(shù)列時(shí),求、、的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】給出下列命題:

          ①命題,則的否命題為,則;②的必要不充分條件;③命題,使得的否定是:“,均有;④命題,則的逆命題為真命題.其中所有正確命題的序號(hào)是_________.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案