Question

（本小題滿分12分）
點M在橢圓上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（I）若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程；
（II）已知點F（1，0），設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（I）橢圓方程為
（II）a的取值范圍是

解：（I）ABM是邊長為2的正三角形，∴圓的半徑r=2，
∴M到y(tǒng)軸的距離                                      …………（2分）
又圓M與x軸相切，∴當∴          …………（4分）
∴ 
∴解得a=3或a=－1（舍去），則 
故所求橢圓方程為                                  …………（6分）
（II）（方法1）①當直線l垂直于x軸時，把x=1代入，得

解得（舍去），即              …………（8分）
②當l不垂直x軸時，設，
直線AB的方程為
得
則 

得恒成立．
…………（10分）

，
由題意得，恒成立．
當不是恒成立的．
當，恒成立．
當恒成立,
，
解得
綜上，a的取值范圍是                               …………（12分）
（方法2）設
①當直線CD與x軸重合時，有
恒有          …………（8分）
②當直線C不與x軸重合時，設直線CD的方程為
整理得

恒為鈍角，
則恒成立            …………（10分）


又恒成立，
即恒成立．當時，

解得
綜上，a的取值范圍是                               …………（12分）