Question

（本題滿分16分）已知數(shù)列中,, 為實常數(shù)）,前項和恒為正值，且當時,.
⑴求證:數(shù)列是等比數(shù)列；
⑵設(shè)與的等差中項為,比較與的大小；
⑶設(shè)是給定的正整數(shù)，.現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項數(shù)為有窮數(shù)列：
當時，；
當時，.
求數(shù)列的前項和.

Answer 1

（本題滿分16分）
解:⑴當時, ,
化簡得,                         .………………………2分
又由,得, 解得,
∴，也滿足,         .………………………4分
而恒為正值, ∴數(shù)列是等比數(shù)列.                .………………………5分
⑵的首項為1，公比為，.當時,,
∴.
當時,,
此時                                         . .……………………7分                
當時,
.
∵恒為正值∴且,
若,則,   若,則.    .……………………10分
綜上可得,當時, ；
當時，若，則，  若,則 .……………………11分
⑶∵ ∴ ,當時, .
若,則由題設(shè)得

 ..……………………13分若,則
.
綜上得.           .………………………16分

略