Question

【題目】已知函數 。

（1）若曲線與在點處的切線互相垂直，求 值；

（2）討論函數的零點個數。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據題意，求得，由，即可求得的值；

（2）由題意，令，分、和三種情形分討論，得到函數的單調性和極值，即可判斷函數的零點的個數

試題解析：

（1），

由題意，解得.

（2），令，

①當時，在定義域上恒大于沒有零點；

②當時，在上恒成立，所以在定義域上為增函數，

因為，所以有1個零點；

③當時，

因為當時，在上為減函數，

當時，在上為增函數，

所以時，沒有零點；

當時，有1個零點，

當時，，

因為且，所以方程在區(qū)間上有一解，

因為當時，，所以，

所以，

因為，所以，

所以在上有一解，所以方程在區(qū)間上有兩解，

綜上所述，當時，函數沒有零點，

當或時，函數有1個零點，

當時，函數有2個零點.