Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，且，.

（1）求證：：

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，結(jié)合題意，可得，從而得到，在△中，可得，利用線面垂直的判定定理可得平面，從而證得；（2）利用，結(jié)合三棱錐的體積公式，求得結(jié)果.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，

因?yàn)榈酌?/span>為菱形，，

所以．

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以．

在△中，，為的中點(diǎn)，

所以．

因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）解法1：在△ 中，，所以．

因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以．

在△中，，，，

因?yàn)?/span>，所以．

由（1）有，且，平面，平面，

所以平面．

在△中，由（1）證得，且，所以．

因?yàn)?/span>，所以．

在△中，，，

所以．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

因?yàn)?/span>，即．

所以．

所以點(diǎn)到平面的距離為．

解法2：因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面．

所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

由（1）證得平面，且，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以 ．

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面．

在△ 中，，所以．

因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以．

在△中，，，，

因?yàn)?/span>，所以．

在△中，根據(jù)等面積關(guān)系得．

所以．

所以點(diǎn)到平面的距離為．