Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，求曲線在點處的切線方程.

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（3）設(shè)函數(shù)若對于任意，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為無減區(qū)間；（3）.

【解析】

（1）先由題意，得到，對其求導(dǎo)，得到對應(yīng)的切線斜率，進而可得出所求切線方程；

（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，和，解對應(yīng)的不等式，即可得出結(jié)果；

（3）先根據(jù)題意，得到在上恒成立，滿足不等式，只需在上恒成立，令，，對其求導(dǎo)，求出的最大值，即可得出結(jié)果.

（1）若，則（），，

又（），所以，

在處切線方程為.

（2）

令，即，解出或.

當(dāng)（即時），

由得或，

由得，

增區(qū)間為，，減區(qū)間為.

當(dāng)，即時，

，在上恒成立，

的增區(qū)間為，無減區(qū)間..

綜上，時，增區(qū)間為，，減區(qū)間為，

時，增區(qū)間為，無減區(qū)間.

（3），有恒成立，

則在上恒成立，

當(dāng)時，，即滿足不等式；

即在上恒成立，

令，，

由題意，只需當(dāng)時，即可，

因為，

當(dāng)時，顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

.，.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.