Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）圓的切線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，證明：為鈍角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用橢圓定義求出的值，可得出的值，再結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）分直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，得出直線的方程為，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，并驗(yàn)證；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切得出，再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律得出，由此可證明出為鈍角.

（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，

由橢圓的定義可得，，

，因此，橢圓的方程為；

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為.

若直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，

則點(diǎn)、，，，此時(shí)，；

當(dāng)直線的方程為，同理可得出；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

由于直線與圓相切，則，可得.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得，

，

由韋達(dá)定理得，.

.

綜上所述，為鈍角.