Question

【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判斷此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：sinC=2sinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得：c=2a，

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac=2a2，即b= a，

∴cosB= = = ；

（2）解：∵b2=ac，

∴cosB= = ≥ = ，

∵函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，π]上為減函數(shù)，

∴B∈（0， ]，即角B的最大值為 ，

此時(shí)有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，

則△ABC為等邊三角形．

【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，得到c=2a，再有a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入計(jì)算即可求出值；（2）由表示出的cosB，將b2=ac代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值，由余弦函數(shù)在[0，π]上為減函數(shù)，確定出B的最大值，由此時(shí)a=c及b2=ac，得出三角形ABC為等邊三角形．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:．