Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（Ⅰ）由經(jīng)過伸縮變換，可得曲線的方程，由極坐標(biāo)方程可得直線的直角坐標(biāo)方程．

（Ⅱ）因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），所以可設(shè)點(diǎn)，

由點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為由三角函數(shù)性質(zhì)可求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

（Ⅰ）由經(jīng)過伸縮變換，可得曲線的方程為，即，由極坐標(biāo)方程可得直線的直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），所以可設(shè)點(diǎn)，

由點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為（其中，），由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值．