Question

【題目】已知,函數(shù)其中

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，

(i)求的取值范圍；

(ii)設(shè)的兩個零點(diǎn)分別為x1,x2，證明：x1x2>e2．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）(i)；(ii)見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）(i)將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點(diǎn)，通過求解相切時的臨界值，得到的取值范圍；(ii)將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，通過構(gòu)造函數(shù)，證得，從而證得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，由得，

則當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，在單調(diào)遞減

（2）(i)函數(shù)有兩個零點(diǎn)即方程在有兩個不同根

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點(diǎn)

如圖：

可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只需

設(shè)切點(diǎn)，所以

又，所以，解得

于是，所以

(ii)原不等式

不妨設(shè)

，

令，則，于是

設(shè)函數(shù)，

求導(dǎo)得：

故函數(shù)是上的增函數(shù)

即不等式成立，故所證不等式成立