Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）證明：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，要使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，只需當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，即可求出實(shí)數(shù)a的值；
（2）要證明：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

，只需證明(

2014

2013

)2014＞e，兩邊取自然對(duì)數(shù)，由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：因?yàn)閒（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0），
所以f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

由題知，要使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，只需當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≥0恒成立
即x+1-a≥0當(dāng)x＞0時(shí)恒成立，則a≤1，
又因a＞0，
所以a的取值范圍為（0，1]．…（6分）
（2）證明：要證明：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

，只需證明(

2014

2013

)2014＞e，
兩邊取自然對(duì)數(shù)得：2014•ln

2014

2013

＞1，
∴l(xiāng)n（1+

1

2013

）-

1

2013+1

＞0
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
而

1

2013

＞0，則f（

1

2013

）＞f（0）=0
令x=

1

2013

得f（

1

2013

）=ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

，
則f（

1

2013

）=ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

＞0，即：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．