Question

【題目】已知圓：，一動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)與圓相交于.兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，l與直線(xiàn)m：相交于.

（1）求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；

（3）探索是否與直線(xiàn)l的傾斜角有關(guān)，若無(wú)關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 或（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1，由直線(xiàn)m的斜率求出直線(xiàn)l的斜率，根據(jù)點(diǎn)A和圓心坐標(biāo)求出直線(xiàn)AC的斜率，得到直線(xiàn)AC的斜率與直線(xiàn)l的斜率相等，所以得到直線(xiàn)l過(guò)圓心；

（2）分兩種情況：①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，求出直線(xiàn)l的方程；②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程，根據(jù)勾股定理求出CM的長(zhǎng)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線(xiàn)l的距離d，讓d等于CM，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程即可；

（3）根據(jù)CM⊥MN，得到等于0，利用平面向量的加法法則化簡(jiǎn)等于，也分兩種情況：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，求得N的坐標(biāo)，分別表示出和，求出兩向量的數(shù)量積，得到其值為常數(shù)；當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與直線(xiàn)m的方程聯(lián)立即可求出N的坐標(biāo)，分別表示出和，求出兩向量的數(shù)量積，也得到其值為常數(shù)．綜上，得到與直線(xiàn)l的傾斜角無(wú)關(guān)．

（1）l與m垂直，且，，又，

所以當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心.

（2）①當(dāng)直線(xiàn)與x軸垂直時(shí), 易知符合題意

②當(dāng)直線(xiàn)與x軸不垂直時(shí), 設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，

因?yàn)?/span>，所以，則由，得

直線(xiàn)：. 從而所求的直線(xiàn)的方程為或

（3）因?yàn)?/span>CM⊥MN,

①當(dāng)與x軸垂直時(shí)，易得，則,又,

，

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

則由，得（ ）,則

=

綜上，與直線(xiàn)l的斜率無(wú)關(guān)，且.