Question

【題目】已知函數(shù)（）．　

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求整數(shù)的最大值.

（可能要用的數(shù)據(jù)： ， ， ）.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）6

【解析】試題分析: （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由在恒成立,則在上為增函數(shù)，由， 可判斷出函數(shù)有唯一零點(diǎn); （2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分離參變量, 在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo),由（1）可知,a小于等于在區(qū)間上的最小值,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)最小值的取值范圍,即可取得整數(shù)a的最大值.

試題解析:解：（Ⅰ） 在上為增函數(shù)，

且，故在上為增函數(shù)，

又， ，

則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).

（Ⅱ）在上恒成立，

當(dāng)時(shí)顯然成立,

當(dāng)時(shí)，可得在上恒成立，

令，則， ，

，

由（Ⅰ）可知： 在上為增函數(shù)，故在上有唯一零點(diǎn)，

則在區(qū)間上為減函數(shù)，

在區(qū)間上為增函數(shù)，

故時(shí)， 有最小值， .

又，

，

則，

有，

所以， ，

令，則最小值

，

因，則的最小值大約在之間，

故整數(shù)的最大值為6.