Question

如圖，設(shè)橢圓的左右焦點為，上頂點為，點關(guān)于對稱，且
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知是過三點的圓上的點，若的面積為，求點到直線距離的最大值。

Answer 1

（1）；（2）4.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理、點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，先通過對稱性得到B點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式得的3個邊長，利用勾股定理列出關(guān)系式，化簡出離心率e的值；第二問，利用第一問知是邊長為a的正三角形，利用三角形面積，得到a的值，從而得到b和c的值，由于，所以圓是以為圓心，為半徑，則可直接寫出圓的方程，因為點p到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑，所以利用點到直線的距離公式計算即可.
試題解析：（1）
由及勾股定理可知，即
因為，所以，解得
（2）由（1）可知是邊長為的正三角形，所以
解得
由可知直角三角形的外接圓以為圓心，半徑
即點在圓上，
因為圓心到直線的距離為
故該圓與直線相切，所以點到直線的最大距離為