Question

設(shè)曲線：上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為,若,,
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證:；
（3）是否存在常數(shù),使得對,都有不等式:成立?請說明理由.

Answer 1

（1） （2）先證，累加即得證.（3）存在常數(shù),對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn),則,∴,
∵, ∴ 當(dāng)時(shí),取得最小值,且,
又,∴,即， 將代入得
兩邊平方，得,又,，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列, ∴,
∵ ,∴
（2）∵,∴
∴,∴ ∴，
∴
將以上個(gè)不等式相加，得.
（Ⅲ）由（1）得,當(dāng)時(shí), ,
∵,
∴，
∴,
∴
∴.
∴存在常數(shù),對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)目標(biāo)，適當(dāng)放縮，難度較大．