Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知平行于軸的動直線交拋物線于點，點為的焦點．圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設的軌跡為曲線．

⑴求曲線的方程；

⑵若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，．當線段的長度最小時，求的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）的方程為 ；（2），，，所以當時，取得極小值也是最小值，即取得最小值，此時．

試題解析：

（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標為，

設，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸，

所以圓的半徑為，

則直線的方程為，即，

所以，又，

所以，即，

所以的方程為

（2）設， ，，

由（1）知，點處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，

由，，

所以，，

則，

所以當時，取得極小值也是最小值，即取得最小值

此時．