Question

(本小題滿分12分)

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，點(diǎn)E、M分別為A₁B、C₁C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A₁，B，M三點(diǎn)的平面A₁BMN交C₁D₁于點(diǎn)N.
（Ⅰ）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

Answer 1

（Ⅱ）

（Ⅰ）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)F，連EF，C₁F  ∵E為A₁B中點(diǎn)  ∴EF∥BB₁    又∵M(jìn)為CC₁中點(diǎn)∴EF∥ C₁M∴四邊形EFC₁M為平行四邊形 ∴EM∥FC₁ 

而EM 平面A₁B₁C₁D₁ . FC₁平面A₁B₁C₁D₁ .
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁………………6分  
（Ⅱ）由⑴EM∥平面A₁B₁C₁D₁ 
EM平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N  
∴A₁N// EM// FC₁  ∴N為C₁D₁中點(diǎn)，過(guò)B₁作B₁H⊥A₁N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理  BH⊥A₁N
∠BHB₁即為二面角B—A₁N—B₁的平面角……8分
設(shè)AA₁=a，則AB=2a， ∵A₁B₁C₁D₁為正方形               
∴A₁H=   又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁
∴B₁H=，在Rt△BB₁H中，
tan∠BHB₁=即二面角B—A₁N—B₁的正切值為……12分