Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與拋物線相交于兩點，與橢圓相交于兩點，（為坐標(biāo)原點），為拋物線的焦點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用焦距、橢圓上的點和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得到，利用構(gòu)造方程求得，可知恒過定點，則；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理整理得到，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求得所求最值.

（1）橢圓過點，…①，

又橢圓焦距為，則，…②，

由①②可解得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

由消去得：，則.

，，

直線的方程為，恒過定點，

由，消去得：.

設(shè)，，則，.

，

令，則，

令，則，令，則，

在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，的面積取得最大值，最大值為，此時，直線的方程為.

面積的最大值為.