Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時，試比較與1的大��；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（1）或；
（2）①當(dāng)時，，即；
②當(dāng)時，，即；
③當(dāng)時，，即．
（3）見解析.

(I)本小題的實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性極值，結(jié)合草圖，確定出直線y=k與函數(shù)y=f(x)的圖像有一個公共點時，確定k的取值范圍.
(II)當(dāng)a=2時，可以采用作差法比較f(x)與1的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)區(qū)間最值，從而判斷它們之間的大小關(guān)系.
(III)解決本小題最佳途徑是利用(2)的結(jié)論，當(dāng)時，，即．
令，則有， 然后解本題的另一個關(guān)鍵點判斷出,從而證明出.
另外也可以考慮數(shù)學(xué)歸納法.
解：（Ⅰ）當(dāng)時，，定義域是，
， 令，得或． …2分
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ……………4分
的極大值是，極小值是．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
當(dāng)僅有一個零點時，的取值范圍是或．………5分
（Ⅱ）當(dāng)時，，定義域為．
令，
，
在上是增函數(shù)．             ……………………7分
①當(dāng)時，，即；
②當(dāng)時，，即；
③當(dāng)時，，即． …………………………………9分
（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．
令，則有，   ． ……12分
，
．               ………………………14分
（法二）當(dāng)時，．
，，即時命題成立．  …………………10分
設(shè)當(dāng)時，命題成立，即 ．
時，．
根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．………13分
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．                ………………………14分
（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

． ………………………………12分
，
又，，
．
．               …………………………………14分