Question

（本題滿分10分）已知函數(shù)．
（I）討論的單調(diào)性；
（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；
（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，
證明：（x₀）＜0．

Answer 1

（1）單調(diào)增加，在單調(diào)減少；（2）當(dāng)，（3）見解析.

第一問利用導(dǎo)數(shù)求解得到。
（I） 
（i）若單調(diào)增加.
（ii）若且當(dāng)

所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少.
第二問中，構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)則   

結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性判定進(jìn)而求解。
第三問中，由（I）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故，從而的最大值為
解：（I） 
（i）若單調(diào)增加.
（ii）若且當(dāng)

所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. ………………3分
（II）設(shè)函數(shù)則   

當(dāng).
故當(dāng)，  ………………6分
（III）由（I）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故，從而的最大值為
不妨設(shè)  
由（II）得從而
由（I）知，  ………………10分