Question

冪函數(shù)y=x^a，當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖），設(shè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，1），若y=x^α，y=x^β的圖象與線段AB分別交于M、N，且

BM

=

NA

，則4α+β的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相等向量與相反向量,冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：利用互為反函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的性質(zhì)可得：α=

1

β

．且α＞0，β＞0．代入利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由互為反函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的性質(zhì)可得：α=

1

β

．且α＞0，β＞0．
∴4α+β=4α+

1

α

≥2

4α• 1 α

=4，當(dāng)且僅當(dāng)α=

1

2

時(shí)取等號(hào)．
因此4α+β的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．