Question

過(guò)點(diǎn)M（1，1）作斜率為-

1

2

的直線與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用點(diǎn)差法，結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn)，斜率為-

1

2

，即可求出橢圓C的離心率．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

a2

+

y12

b2

=1①，

x22

a2

+

y22

b2

=1②，
∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，
∴

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=1，
∵直線AB的方程是y=-

1

2

（x-1）+1，
∴y₁-y₂=-

1

2

（x₁-x₂），
∵過(guò)點(diǎn)M（1，1）作斜率為-

1

2

的直線與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，
∴①②兩式相減可得

x12-x22

a2

+

y12-y22

b2

=0，即

2

a2

+(-

1

2

)•

2

b2

=0，
∴a=

2

b，
∴c=

a2-b2

=b，
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．