Question

【題目】已知四棱錐的底面是梯形，，，，，在棱上且.

（1）證明：平面；

（2）若平面，異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

(1) 作交于點，連接，證明四邊形為平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理得到證明；（2）由異面直線與所成角可得，以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面EBD的法向量，然后利用法向量的數(shù)量積計算可得結(jié)果.

（1）證明：作交于點，連接，

因為在棱上且，

所以．

又因為，，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

從而有．

又因為平面，平面，

所以平面．

（2）由（1）可知，即為異面直線與所成的角，

在直角三角形中，，

所以，.

以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

，，

平面的一個法向量，

設(shè)平面的法向量為，

由得

取，得.

所以，

因為二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.