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        1. 【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.

          1)求證:MN平面BDE;

          (2)求二面角C-EM-N的正弦值;

          【答案】(1)見解析;(2)

          【解析】

          (1)取AB中點F,連接MF、NF,由已知可證MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
          (2)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A為原點,分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.求出平面MEN與平面CME的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,進一步求得正弦值;

          (1)證明:取AB中點F,連接MF、NF,
          ∵M為AD中點,∴MF∥BD,
          ∵BD平面BDE,MF平面BDE,∴MF∥平面BDE.
          ∵N為BC中點,∴NF∥AC,
          又D、E分別為AP、PC的中點,∴DE∥AC,則NF∥DE.
          ∵DE平面BDE,NF平面BDE,∴NF∥平面BDE.
          又MF∩NF=F.
          ∴平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
          (2)∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
          ∴以A為原點,分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.
          ∵PA=AC=4,AB=2,
          ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),則

          設平面MEN的一個法向量為

          ,得 ,取z=2,得

          由圖可得平面CME的一個法向量為


          ∴二面角C-EM-N的余弦值為,則正弦值為.

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          A.
          B.
          C.
          D.

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          A.
          B.
          C.1
          D.2

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          A.
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          C.
          D.

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