Question

如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面 平面，且，分別為和的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）證明線(xiàn)面平行，一般可考慮線(xiàn)面平行的判定定理，構(gòu)造面外線(xiàn)平行于面內(nèi)線(xiàn)，其手段一般是構(gòu)造平行四邊形，或構(gòu)造三角形中位線(xiàn)(特別是有中點(diǎn)時(shí))，本題易證從而達(dá)到目標(biāo)；（Ⅱ）要證面面垂直，由面面垂直的判定定理知可先考察線(xiàn)面垂直，要證線(xiàn)面垂直，又要先考察線(xiàn)線(xiàn)垂直；（Ⅲ）求棱錐的體積，關(guān)鍵是作出其高，由面面及為等腰直角三角形，易知（中點(diǎn)為），就是其高，問(wèn)題得以解決.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)．
∵四邊形為矩形且是的中點(diǎn)．∴也是的中點(diǎn)．
又是的中點(diǎn)，                       2分
∵平面，平面，所以平面；      4分
（Ⅱ）證明：∵平面 平面，，平面 平面，
所以平面 平面，又平面，所以       6分
又，是相交直線(xiàn)，所以面 
又平面，平面平面；            8分
（Ⅲ）取中點(diǎn)為．連結(jié),為等腰直角三角形，所以，
因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022913849468.png" style="vertical-align:middle;" />面且面面，
所以，面，
即為四棱錐的高．      10分 
由得．又．
∴四棱錐的體積    12分