Question

【題目】已知橢圓：的離心率為.點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，，的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，證明：的面積是定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；定值為

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，，的面積為，得到求解.

（2）分直線的斜率不存在時，設(shè)直線：（且），直接求得M，N的坐標(biāo)求解.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點(diǎn)，，直線：，與聯(lián)立，得到m，k的關(guān)系，再利用弦長公式求得，以及原點(diǎn)到直線的距離，代入求解.

（1）由已知得，∴，

又，∴，∴橢圓：.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線：（且），代入，得，

則，∴，則，

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點(diǎn)，，直線：，代入，

得，∴，

，，，

∴，滿足，

，

又原點(diǎn)到直線的距離，

∴，為定值.

綜上，的面積為定值，定值為.