Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，底面，，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，進(jìn)而可得出；

（2）利用二面角的定義得出，可計(jì)算出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）在梯形中，，，則，，

且，則，在中，，，

由余弦定理得，

，則，

平面，平面，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，，所以，二面角的平面角為，

平面，平面，，

為的中點(diǎn)，，，

則，即，解得，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、、、，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，令，則，，可得，

設(shè)直線與平面所成角為，則.