Question

如圖1，，，過動(dòng)點(diǎn)A作，垂足在線段上且異于點(diǎn)，連接，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當(dāng)的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱、的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小．

Answer 1

（1）時(shí), 三棱錐的體積最大．（2）

試題分析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．
由，知，△為等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如圖2），，，且，
所以平面．又，所以．于是
    
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立   
故當(dāng)，即時(shí), 三棱錐的體積最大．   
解法2：同解法1，得．  
令，由，且，解得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大.
（2）解法1：以D為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系D-.
由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD＝1,AD＝CD＝2.
于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（，1,0），且BM＝（-1，1,1）.    
設(shè)N（0,, 0），則EN＝,-1,0).因?yàn)?i>EN⊥BM等價(jià)于EN·BM＝0,即（，-1,0）·（-1,1,1）＝+-1＝0，故＝，N（0, ，0） 
所以當(dāng)DN＝時(shí)（即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，EN⊥BM.
設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為n=(,,),由可取＝(1,2,-1） 
設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得
，即．   
故與平面所成角的大小為     
解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．
如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥.
由（Ⅰ）知平面，所以平面.
如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形，
所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥，
所以. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005837848481.png" style="vertical-align:middle;" />平面，又面，所以.
又，所以面. 又面，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005838222663.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.
即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)），．      
連接，，由計(jì)算得，
所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，
如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，，
則平面．在平面中，過點(diǎn)作于，
則平面．故是與平面所成的角．
在△中，易得，所以△是正三角形，
故，即與平面所成角的大小為 
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問題中的不變量，空間線面角的計(jì)算方法，空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題