Question

【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)，）,(,),

⑴若，．求在上的最大值的表達式；

⑵若時，方程在上恰有兩個相異實根，求實根的取值范圍；

⑶若，,求使得圖像恒在圖像上方的最大正整數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用分類整合思想求解；(2)依據(jù)題設(shè)運用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想進行探求；(3)依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù),運用導(dǎo)數(shù)的知識求解．

試題解析：

(1)時，,

;

①當時，，在上為增函數(shù)，此時，

②當時，，在上為增函數(shù)，

故在上為增函數(shù)，此時…………………………………2分

③當時，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

若，即時，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

此時………………………………5分

若，即時，在上為增函數(shù)，則此時，

綜上所述：………………………………6分，

（2），，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……………7分

在上恰有兩個相異實根，

，

實數(shù)的取值范圍是，…………………………………10分

（3）由題設(shè)：,，（*）

，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

（*），

設(shè)，則，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，…………………………12分

而，

且，

故存在，使，

且時，，時，，

又，，時，使的圖像恒在圖像的上方的最大整數(shù)………………14分．