Question

【題目】如圖，橢圓 過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為，離心率， 是橢圓右準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值；

（3）以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）圓過定點(diǎn)，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)?/span>，且過點(diǎn)，列出關(guān)于的方程，解得，最后寫出橢圓方程即可；（2）設(shè)點(diǎn)寫出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得到，又，結(jié)合基本不等式即可求得最小值；（3）利用圓心的坐標(biāo)和半徑得出圓的方程，再令，得從而得出圓過定點(diǎn).

試題解析：（1） ，且過點(diǎn)，

解得 橢圓方程為.

（2）設(shè)點(diǎn) 則 ，

， 又，

的最小值為．

（3）圓心的坐標(biāo)為，半徑.

圓的方程為，

整理得： .

，

令，得， . 圓過定點(diǎn).