Question

【題目】已知函數(shù) ，其中b是常數(shù)．
（1）若y=f（x）是奇函數(shù)，求b的值；
（2）求證：y=f（x）是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)y=f（x）的定義域?yàn)镈，

∵y=f（x）是奇函數(shù)，∴對(duì)任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，

得b=1，此時(shí)， ，D=R，為奇函數(shù)

（2）解：設(shè)定義域內(nèi)任意x1＜x2，

，

= =

當(dāng)b≤0時(shí)，總有0＜x1＜x2， ， ，

∴ ，得h（x1）＜h（x2），

當(dāng)b＞0時(shí)，∵x1﹣x2＜0， ， ，

∴ ，得h（x1）＜h（x2），

故總有f（x）在定義域上單調(diào)遞增

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出b的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．