Question

圓心在曲線y=

2

x

(x＞0)上，且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為

（x-1）²+（y-2）²=5

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓心在曲線y=

2

x

(x＞0)上，設(shè)出圓心的坐標，然后根據(jù)圓與直線2x+y+1=0相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，要使圓的面積最小即為圓的半徑最小，利用點到直線的距離公式表示出設(shè)出的圓心到已知直線的距離d，利用基本不等式求出d的最小值及此時a的值，進而得到此時的圓心坐標和圓的半徑，根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：由圓心在曲線y=

2

x

(x＞0)上，設(shè)圓心坐標為（a，

2

a

）a＞0，
又圓與直線2x+y+1=0相切，所以圓心到直線的距離d=圓的半徑r，
由a＞0得到：d=

2a+ 2 a +1

5

≥

4+1

5

=

5

，當且僅當2a=

2

a

即a=1時取等號，
所以圓心坐標為（1，2），圓的半徑的最小值為

5

，
則所求圓的方程為：（x-1）²+（y-2）²=5．
故答案為：（x-1）²+（y-2）²=5

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的關(guān)系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．