Question

關(guān)于曲線C：（x-m）²+（y-2m）²=

n2

2

，有以下五個(gè)結(jié)論：
（1）當(dāng)m=1時(shí)，曲線C表示圓心為（1，2），半徑為

2

2

|n|的圓；
（2）當(dāng)m=0，n=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)（3，3）向曲線C作切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB方程為3x+3y-2=0； 
（3）當(dāng)m=1，n=

2

時(shí)，過(guò)點(diǎn)（2，0）向曲線C作切線，則切線方程為y=-

3

4

（x-2）；
（4）當(dāng)n=m≠0時(shí)，曲線C表示圓心在直線y=2x上的圓系，且這些圓的公切線方程為y=x或y=7x；
（5）當(dāng)n=4，m=0時(shí)，直線kx-y+1-2k=0（k∈R）與曲線C表示的圓相離．
以上正確結(jié)論的序號(hào)為

（2）（4）

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念，可得（1）不正確；根據(jù)圓的切點(diǎn)弦所在直線方程形式，可得（2）正確；根據(jù)過(guò)圓外一點(diǎn)可以作兩條圓的切線，可得（3）不正確；根據(jù)圓心的軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系得到（4）正確，根據(jù)直線當(dāng)n=4，m=0時(shí)，直線kx-y+1-2k=0經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部一點(diǎn)，可得（5）不正確．

解答：解：對(duì)于（1），當(dāng)m=1時(shí)，曲線C：（x-1）²+（y-2）²=

n2

2

，
當(dāng)n≠0時(shí)，表示圓心為（1，2），半徑為

2

2

|n|的圓．
但條件中缺少了n≠0，故（1）不正確；
對(duì)于（2），當(dāng)m=0，n=2時(shí)，曲線C：x²+y²=2，表示圓心在原點(diǎn)半徑為

2

的圓
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線為x₁x+y₁y=2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的圓的切線為x₂x+y₂y=2，
∴由點(diǎn)（3，3）分別在兩條切線上，有3x₁+3y₁=2且3x₂+3y₂=2成立
可得經(jīng)過(guò)A、B的直線方程為3x+3y=2，即3x+3y-2=0．故（2）正確；
對(duì)于（3），當(dāng)m=1，n=

2

時(shí)，曲線C：（x-1）²+（y-2）²=1，
表示圓心在原（1，2），半徑為1的圓
過(guò)點(diǎn)（2，0）向曲線C作切線，切線方程為y=-

3

4

（x-2）和x=2，
有兩條切線，故（3）不正確；
對(duì)于（4），當(dāng)n=m≠0時(shí)，因?yàn)閳AC的圓C（m，2m）滿足y=2x
且直線x-y=0和y-7x=0都滿足C到直線的距離恰好等于圓的半徑

2

2

|n|
故曲線C表示圓心在直線y=2x上的圓系，且這些圓的公切線方程為y=x或y=7x，得（4）正確；
對(duì)于（5），當(dāng)n=4，m=0時(shí)，曲線C：x²+y²=8，表示圓心在原點(diǎn)半徑為2

2

的圓
直線kx-y+1-2k=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，1），恰好為圓內(nèi)一點(diǎn)
故圓C必定與直線相交，故（5）不正確
故答案為：（2）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)的圓方程，判斷關(guān)于圓方程的幾個(gè)結(jié)論的正確性．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．