Question

【題目】某電影院共有1000個(gè)座位，票價(jià)不分等次，根據(jù)電影院的經(jīng)營經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)每張票價(jià)不超過10元時(shí)，票可全部售出；當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)，每提高1元，將有30張票不能售出．為了獲得更好的收益，需要給電影院一個(gè)合適的票價(jià)，基本條件是：①為了方便找零和算賬，票價(jià)定為1元的整數(shù)倍；②電影院放映一場電影的成本是5750元，票房收入必須高于成本．用x（元）表示每張票價(jià)，用y（元）表示該電影放映一場的純收入（除去成本后的收入）． （Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）票價(jià)定為多少時(shí)，電影放映一場的純收入最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)每張票價(jià)為x元 當(dāng)x≤10時(shí)，y=1000x﹣5750
由1000x﹣5750＞0得：x＞5.75，又x是整數(shù)，∴x≥6
當(dāng)x＞10時(shí)，y=[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750
由﹣30x2+1300x﹣5750＞0得：5＜x＜38 ，∴10＜x≤38
∴y=
（Ⅱ）解：若x≤10，y=1000x﹣5750是增函數(shù)，∴x=10時(shí)，y有最大值4250
若x＞10，y=﹣30x2+1300x﹣5750，x= = 時(shí)，y最大
又x是整數(shù)，當(dāng)x=21時(shí)，y=8320，當(dāng)x=22時(shí)，y=8330
∴每張票價(jià)定為22元時(shí)，放映一場的純收入最大．
【解析】（Ⅰ）設(shè)每張票價(jià)為x元，通過當(dāng)x≤10時(shí)，求出y=1000x﹣5750，利用1000x﹣5750＞0得x≥6，當(dāng)x＞10時(shí)，求出y=﹣30x2+1300x﹣5750，得到10＜x≤38，寫出函數(shù)的解析式． （Ⅱ）利用分段函數(shù)的解析式分別求解函數(shù)的最值．